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鉄道模型工学 台車の荷重移動 台車マウントの場合

 以前に紹介した「GM製コアレスモーター動力ユニットを名鉄2200系に装着 (1)」( 2019/7/18)において、リレーラを使ってセットしようとしても車輪が脱線してしまったり、高負荷時に車輪が浮いて脱線する現象を報告した。 これは、台車のピッチング・モーメントによって車輪が浮いてしまうのが原因であるが、この現象を解析しようと進めてきた。

 しかし、意外とややこしくてまとめることに四苦八苦していたが、なんとか台車マウント方式のボギー車についても、まとめることが出来たのでここに報告する。

 

■ 解析のための前提条件

 解析を容易にするための前提条件はボディーマウントの場合と同じと考えておこう。

 カプラーが台車マウントの場合には、ボディー部との力関係が意外と複雑となっている。 カプラー位置などの寸法や、駆動・制動時のトラクションタイヤの位置などの条件が絡まってくる上に、坂道走行での動力車の坂道抵抗も影響して解析を複雑化している。 

 そして、条件の一般化をいろいろ検討したが、トラクションタイヤの位置でケース分けをする方法が一番しっくりといったのでこれに従って説明する。 まず、台車単体での力関係から解析しておこう。

 

■ トラクションタイヤが浮く方向に力が掛かる場合 (ケース3)

 

 台車マウンドの場合は、台車には支持部と車輪に加え、カプラー部にも力が作用する。 この時の力関係を下のイラストで示す。 台車に掛かるモーメント状態を明示するために、車軸支持部をバネを使ったサスペンションを仮定してイラスト化している。 この図を見ると、前輪のトラクションタイヤが浮く方向、即ち後車軸に荷重移動していることが理解できると思う。

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 このケースでは前輪の片方の車輪にトラクションタイヤを履いており、他の3輪は通常の車輪とする。 トラクションタイヤのコロガリ摩擦係数をμt、通常車輪のコロガリ摩擦係数をμo として各輪に働く駆動力あるいは制動力 F1〜F4を求める。 また、各車輪に掛かる荷重 W1W2 の計算式は先回と同じである。

 水平方向の力や、イ点を中心としたモーメント関係も求め、台車として考えた時のコロガリ摩擦係数μ3を、

  μ3 = (Fk - Ff)/W

と定義する。

 これらの関係式より、F1〜F4、W1、W2を消去してμ3を求めると、

      

となる。 (μt + 3μo) /4 は4輪の摩擦係数の平均値を示しており、(μt -μo)はトラクションタイヤと通常タイヤの摩擦係数の差を示している。 即ち、この式より、台車としての摩擦係数は4輪の平均値から、荷重移動によってその値がどれだけ変化するのかを示唆していると言える。

 μt >μoでり、H>h でもあるが、Fk と Ff の値によっては分母が1より大きくなるのか、小さくなるのはが判然としない。 また、図では Ff を左向きの力としたが 場合によっては右向きになる場合は無いのだろうかなどの疑問が沸きだしてくる。

 この疑問に対しては、ゆっくりと考えることにして、ケース1やケース2の場合と同様に、次のケース4の場合を考えておこう。

 

■ トラクションタイヤが沈む方向に力が掛かる場合 (ケース4)

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 次に、トラクションタイヤの位置を変えて解析する。 その状態を右に示す。 トラクション車輪は、F1からF4に変更している。

 その他の計算式はケース3に倣って立てて、摩擦係数をμ4を求めると、

     

となる。 ケース3の場合と異なっている部分は、一ヶ所の符号だけである。

 

■ 車両としての摩擦係数

 これらの台車を装着した車両を考えよう。 まず、下のイラストを紹介する。 電車の場合は動力車が編成の中央部に配置されている場合が多い事を想定しているのだ。

 前後の車両からそれぞれの台車のカプラーに掛かる力 Fk1 と Fk2 、ボディーの重量による坂道抵抗による力 2Wsinθ が、台車に掛かる力とモーメントを作用させている。 そして、それらの力によって車軸の荷重移動が発生し、それによって発生するコロガリ摩擦によって、総合的な牽引力や制動力を発揮しているのである。

  

 

 ボディーマウンではそれぞれの力がボディーに集約され、そして1ヶ所の台車支持部を通して台車に伝達している場合とは、様子がまるで異なっているのである。 様々なに変化する条件の中で、どうやって式をまとめるのかを暗中模索してきたのである。

    目的は動力車両としてのμカーブを求めたい!

のであるが・・・・・・・・・・・・・・・。

 結局、一般的な式にまとめる事は諦めて、コアレスモータ動力ユニットを測定したデータを検証することに絞って検討することにした。

 

■ コアレスモータ動力ユニットにおける計算値と実際の測定値の検証

 まず、我が実験装置の場合の状態をモデル化してみることにした。 重り車両を使って登坂時の速度を測定し、モータ回転数数から動輪のスベリ率を求めている。 この状態を下のイラストに示す。 駆動力を測定し低状態である。

 また、下り坂では制動力を測定している。

 このモデルでは、関係式がすこし少なっているので、簡単に求められる! と思ったのであるが、我が知力では行き詰まってしまった。

 

**********************   頭を冷やしています  ********************************************************************             

 

 動力車が坂道を、あるスベリ率の状態で登っている場合、その時の全輪の合計した力で車体を引き上げている。 そしてもし、牽引力が優っている場合には速度を増すことになる。 その結果、車体の速度が上がるために車輪のスベリ率としては低下することになる。 ここで、モータの回転数は同じとしている。 スベリ率が落ちると牽引力が下がり、スピードも下がることになり、結局は或るバランスの取れた状態を維持することになる。 自然界では、この様なややこしい状態でも、うまくバンスを取って安定した状態を保っているのである。

 これに倣って、いつもの初歩的な逐次近似法を使ってこの難題に挑戦することにした。 その方法と手順は、

  1. 車体の重さW、重り車両の重さWc、重り車両の走行抵抗、寸法のL 、H 、h は事前に測定済みである。
  2. 坂道の傾斜角θをある値に設定する。 すると、カプラーに掛かる力 Fk1 と坂道抵抗 2Wsinθ,が計算できる.
  3. スベリ率ζを適当な値に設定する。 これによって動輪に発生する駆動力、あるいは制動力が求められる。
  4. そして各ケースに応じて台車支持部に作用する力 Ff1 と Ff2 が計算出来る。
  5. そして車体に働く力として、評価関数 f(ζ) = Ff2- Ff1 - 2Wsinθ を計算する。
  6. もしこの f(ζ) が 正であれば車輪に働く力が大き過ぎることを示している。 そこで、スベリ率ζを少し小さくして、上記の3から計算をやり直す。 負であれば車輪に働く力が小さいことを示しているので、スベリ率ζを大きくなるように修正する。
  7. こうして、f(ζ) がゼロ近くになれば、力のバランスが取れたことになり、この時の値が求めるスベリ率と判断する。
  8. そして、発生している値を重さで割って、車両のコロガリ摩擦係数μとする。
  9. そして上記の2に戻って、新しいθにて、同様な計算を繰り返す。
  10. 最後に、求めたスベリ率と摩擦係数のグラフを作成する。

 このように、かなり面倒な方法で計算すれば、ボディーマウントの場合と同様なグラフを作成することが出来、実際の測定データと比較することが出来る。

 

■ 逐次近似計算の実施

 このようにして計算するためには、台車支持部に作用する力 Ff1 と Ff2 を計算出来る式として求めておく必要がある。 そこで前記の関係式を使って、ケース1からケース4の場合を計算した結果を下に示す。

        

 また、逐次近似の程度を示す評価関数 f(ζ) は、

         

を計算し、その値と符号を見ながら近似具合をチェックしていく。 f(ζ) ≒ 0 となるまで繰り返すのであるが、f(ζ) は単位がグラムなので、自分の測定精度を考えると 1/100 グラム以下であれば充分と判断することにする。

 問題は、スベリ率ζの修正値をどうやって計算するかである。 通常は f(ζ) の微分値を使用するのだが、これまたややこしそうである。 そこで、f(ζ)/(Ff2+Ff1) の値を取って修正することで誤魔化すことにする。 こうすれば、2回以降の逐次近似計算が自動化されるので計算を容易化してくれる。 今回は7回まで実施させるようにした。 こうすると、最初にζを設定する時に、おおよその目途を付けて置けば、後は自動的に収束してくれるものと見ている。

 今回、GMのコアレスモータ動力ユニットについて実施した計算シートを下に示す。

 計算は、駆動時と制動時に分けて実施し、適当な勾配角θを設定した後、スベリ率ζの初期値を探っていった。 少し手間暇が掛ったが、計算結果を下のグラフに表示する。 重り車両のデータは動力特性を測定した時の値を使用するが、スベリ率からμtとμoを求める式は、「トラクションタイヤの効果」の実測データから得られた近似式を使用している。 

 実測データとは少し離れているが、計算式が違っているのか、あるいは、スベリ率から計算したμtとμoが違うのかは判断出来ない。 しかし、傾向は合っているとして計算モデルは妥当であると判断することにしよう!

 

■ まとめ

 今回の計算方法で、台車カプラーの場合でも、車両の摩擦係数を計算出来ることがわかった。 そこで、次の内容について検討することにしよう。

  1. 台車支持部の線路からの高さ H の違いが、車両の摩擦特性にどのように影響するのだろうか?
  2. トラクションタイヤの位置を、内側の車軸に配置する場合と、外側の車軸に配置する場合の違いは?
  3. GM製のユニットの場合、ボディーマウントにして使用する場合は、どのようになるのだろうか?

 検討の結果、何らかのメリットがあれば、2と3の内容については対応できるアイテムなので実行してみることにしよう。